实数练习题(大于28小于35的数有7个对吗)
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2023-11-28
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1. 实数练习题,大于28小于35的数有7个对吗?
错误的,35-28这道题,是指35比28大多少或者多多少,所得结果如果用列举法,就是多了29.30.31.32.33.34.35这7个数。而我们这道题问得是之间有几个数字,所以还得去掉35,所以这道题解题方法是35-28-1=6
2. 整个初中数学的重难点有哪些?
初中数学重难考点,希望帮助到你。如果你现在正在读初中可以关注我。《初中数学完整课程》是我录制的188节讲授初中数学重点、难点、考点的系统课程,内涵全部初中数学基础及拔高内容,可以了解一下!以下从三个维度总结初中数学重点:一、基本运算方法
1、配方法
所谓配方,就是把一个解析式利用恒等变形的方法,把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中,用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法,它的应用十分非常广泛,在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。
2、因式分解法
因式分解,就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础,它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多,除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外,还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。
3、换元法
换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元,所谓换元法,就是在一个比较复杂的数学式子中,用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子,使它简化,使问题易于解决。
4、判别式法与韦达定理
一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c属于R,a≠0)根的判别,△=b2-4ac,不仅用来判定根的性质,而且作为一种解题方法,在代数式变形,解方程(组),解不等式,研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。
韦达定理除了已知一元二次方程的一个根,求另一根;已知两个数的和与积,求这两个数等简单应用外,还可以求根的对称函数,计论二次方程根的符号,解对称方程组,以及解一些有关二次曲线的问题等
5、待定系数法
在解数学问题时,若先判断所求的结果具有某种确定的形式,其中含有某些待定的系数,而后根据题设条件列出关于待定系数的等式,最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系,从而解答数学问题,这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。
6、构造法
在解题时,我们常常会采用这样的方法,通过对条件和结论的分析,构造辅助元素,它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等,架起一座连接条件和结论的桥梁,从而使问题得以解决,这种解题的数学方法,我们称为构造法。运用构造法解题,可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透,有利于问题的解决。
7、反证法
反证法是一种间接证法,它是先提出一个与命题的结论相反的假设,然后,从这个假设出发,经过正确的推理,导致矛盾,从而否定相反的假设,达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤,大体上分为:(1)反设;(2)归谬;(3)结论。
反设是反证法的基础,为了正确地作出反设,掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的,例如:是、不是;存在、不存在;平行于、不平行于;垂直于、不垂直于;等于、不等于;大(小)于、不大(小)于;都是、不都是;至少有一个、一个也没有;至少有n个、至多有(n一1)个;至多有一个、至少有两个;唯一、至少有两个。
归谬是反证法的关键,导出矛盾的过程没有固定的模式,但必须从反设出发,否则推导将成为无源之水,无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型:与已知条件矛盾;与已知的公理、定义、定理、公式矛盾;与反设矛盾;自相矛盾。
8、面积法
平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理,不仅可用于计算面积,而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法,称为面积方法,它是几何中的一种常用方法。
用归纳法或分析法证明平面几何题,其困难在添置辅助线。面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来,通过运算达到求证的结果。所以用面积法来解几何题,几何元素之间关系变成数量之间的关系,只需要计算,有时可以不添置补助线,即使需要添置辅助线,也很容易考虑到。
9、几何变换法
在数学问题的研究中,常常运用变换法,把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射。中学数学中所涉及的变换主要是初等变换。有一些看来很难甚至于无法下手的习题,可以借助几何变换法,化繁为简,化难为易。另一方面,也可将变换的观点渗透到中学数学教学中。将图形从相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起来,有利于对图形本质的认识。
几何变换包括:(1)平移;(2)旋转;(3)对称。
10、客观性题的解题方法
选择题是给出条件和结论,要求根据一定的关系找出正确答案的一类题型。选择题的题型构思精巧,形式灵活,可以比较全面地考察学生的基础知识和基本技能,从而增大了试卷的容量和知识覆盖面。
填空题是标准化考试的重要题型之一,它同选择题一样具有考查目标明确,知识复盖面广,评卷准确迅速,有利于考查学生的分析判断能力和计算能力等优点,不同的是填空题未给出答案,可以防止学生猜估答案的情况。
要想迅速、正确地解选择题、填空题,除了具有准确的计算、严密的推理外,还要有解选择题、填空题的方法与技巧。下面通过实例介绍常用方法。
(1)直接推演法:直接从命题给出的条件出发,运用概念、公式、定理等进行推理或运算,得出结论,选择正确答案,这就是传统的解题方法,这种解法叫直接推演法。
(2)验证法:由题设找出合适的验证条件,再通过验证,找出正确答案,亦可将供选择的答案代入条件中去验证,找出正确答案,此法称为验证法(也称代入法)。当遇到定量命题时,常用此法。
(3)特殊元素法:用合适的特殊元素(如数或图形)代入题设条件或结论中去,从而获得解答。这种方法叫特殊元素法。
(4)排除、筛选法:对于正确答案有且只有一个的选择题,根据数学知识或推理、演算,把不正确的结论排除,余下的结论再经筛选,从而作出正确的结论的解法叫排除、筛选法。
(5)图解法:借助于符合题设条件的图形或图象的性质、特点来判断,作出正确的选择称为图解法。图解法是解选择题常用方法之一。
(6)分析法:直接通过对选择题的条件和结论,作详尽的分析、归纳和判断,从而选出正确的结果,为分析法。
二、基本定理1、过两点有且只有一条直线
2、两点之间线段最短
3、同角或等角的补角相等
4、同角或等角的余角相等
5、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短
7、平行公理 经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行
8、如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行
9、同位角相等,两直线平行
10、内错角相等,两直线平行
11、同旁内角互补,两直线平行
12、两直线平行,同位角相等
13、两直线平行,内错角相等
14、两直线平行,同旁内角互补
15、定理 三角形两边的和大于第三边
16、推论 三角形两边的差小于第三边
17、三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°
18、推论1 直角三角形的两个锐角互余
19、推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
20、推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
21、全等三角形的对应边、对应角相等
22、边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
23、角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的 两个三角形全等
24、推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
25、边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等
26、斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
27、定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
28、定理2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上
29、角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
30、等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角)
31、推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
32、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合
33、推论3 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°
34、等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)
35、推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形
36、推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
37、在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半
38、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半
39、定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
40、逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上
41、线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合
42、定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形
43、定理 2 如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线
44、定理3 两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上
45、逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称
46、勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方,即a2+b2=c2
47、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形
48、定理 四边形的内角和等于360°
49、四边形的外角和等于360°
50、多边形内角和定理 n边形的内角的和等于(n-2)×180°
51、推论 任意多边的外角和等于360°
52、平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等
53、平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等
54、推论 夹在两条平行线间的平行线段相等
55、平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分
56、平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
57、平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边 形是平行四边形
58、平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形
59、平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形
60、矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角
61、矩形性质定理2 矩形的对角线相等
62、矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形
63、矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形
64、菱形性质定理1 菱形的四条边都相等
65、菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角
66、菱形面积=对角线乘积的一半,即S=(a×b)÷2
67、菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形
68、菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
69、正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角,四条边都相等
70、正方形性质定理2正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角
71、定理1 关于中心对称的两个图形是全等的
72、定理2 关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分
73、逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形关于这一点对称
74、等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等
75、等腰梯形的两条对角线相等
76、等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯 形是等腰梯形
77、对角线相等的梯形是等腰梯形
78、平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等
79、推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰
80、推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边
81、三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半
82、梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半 L=(a+b)÷2 S=L×h
83、(1)比例的基本性质:如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果 ad=bc ,那么a:b=c:d
84、(2)合比性质:如果a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d
85、(3)等比性质:如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),
那么(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b
86、平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例
87、推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例
88、定理 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边
89、平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线, 所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例
90、定理 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似
91、相似三角形判定定理1 两角对应相等,两三角形相似(ASA)
92、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似
93、判定定理2 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似(SAS)
94、判定定理3 三边对应成比例,两三角形相似(SSS)
95、定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似
96、性质定理1 相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比
97、性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比
98、性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方
99、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值
100、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值,任意锐角的余切值等于它的余角的正切值
101、圆是定点的距离等于定长的点的集合
102、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合
103、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合
104、同圆或等圆的半径相等
105、到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆
106、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是着条线段的垂直平分线
107、到已知角的两边距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线
108、到两条平行线距离相等的点的轨迹,是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线
109、定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。
110、垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧
111、推论1
①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧
②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧
③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧
112、推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等
113、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形
114、定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等
115、推论 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等
116、定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
117、推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等
118、推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径
119、推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形
120、定理 圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角
121、①直线L和⊙O相交 d﹤r
②直线L和⊙O相切 d=r
③直线L和⊙O相离 d﹥r
122、切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
123、切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径
124、推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
125、推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
126、切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
127、圆的外切四边形的两组对边的和相等
128、弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
129、推论 如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等
130、相交弦定理 圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等
131、推论 如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项
132、切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项
133、推论 从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条 割线与圆的交点的两条线段长的积相等
134、如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上
135、①两圆外离 d﹥R+r ②两圆外切 d=R+r③两圆相交 R-r﹤d﹤R+r(R﹥r)
④两圆内切 d=R-r(R﹥r) ⑤两圆内含 d﹤R-r(R﹥r)
136、定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦
137、定理 把圆分成n(n≥3):
⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形
⑵经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形
138、定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆
139、正n边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n
140、定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形
141、正n边形的面积Sn=pnrn/2 p表示正n边形的周长
142、正三角形面积√3a/4 a表示边长
143、如果在一个顶点周围有k个正n边形的角,由于这些角的和应为360°,因此k×(n-2)180°/n=360°化为(n-2)(k-2)=4
144、弧长计算公式:L=n兀R/180
145、扇形面积公式:S扇形=n兀R^2/360=LR/2
146、内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)
三、常用数学公式公式分类 公式表达式
乘法与因式分解 a2-b2=(a+b)(a-b)
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)
三角不等式 |a+b|≤|a|+|b|
|a-b|≤|a|+|b|
|a|≤b<=>-b≤a≤b
|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|
一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a
-b-√(b2-4ac)/2a
根与系数的关系 X1+X2=-b/a
X1*X2=c/a 注:韦达定理
判别式
b2-4ac=0 注:方程有两个相等的实根
b2-4ac>0 注:方程有两个不等的实根
b2-4ac<0 注:方程没有实根,有共轭复数根
某些数列前n项和
1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2
2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6
13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3
正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
注:其中 R 表示三角形的外接圆半径
余弦定理 b2=a2+c2-2accosB
注:角B是边a和边c的夹角
3. 什么是数学思维?
数学学科本身经过几千年的发展,已经形成比较系统、健全、科学地研究方法。常用的数学思想包括:分类讨论、方程与函数思想、化归思想、数形结合思想。
我们身边大部分人接触到的数学思想主要是在中学期间,通过代数、几何的学习而学习到的。但是数学思维除了在应试阶段的作用、在数学学科本身的研究上具有重要作用,同时对于日常的工作、数学外的其他领域也具有重要价值。而数学思维在实际工作生活中的应用,经常会被人们忽视。
在咨询领域有一本畅销书,金字塔原理,这本书经常在职场领域、思维提升领域、PPT制作等领域被大牛推荐,而其实书里面的核心思想就是数学思维中的“分类讨论”思想。这本书提到的MECE法则,全称 Mutually Exclusive Collectively Exhaustive,中文意思是“相互独立,完全穷尽”,这个法则本身其实就是数学思维里分类讨论思想的内在要求。分类讨论思想目前也是在中高考考纲中的重点要求内容,可以说在中考、高考中能把分类讨论的思想学好,金字塔原理的核心内容也就掌握了。但是需要大家在经过中高考阶段后,在具体的工作中,刻意地练习分类讨论的思想方法。比如写作中,结论先行,论证过程需要按分类讨论的要求将不同情况都论证清楚,就可以写成一篇好文章。
比如在年度总结中,为了论证自己的年度成就,可以分几点讨论:一、自身工作内容的贡献。二、对其他人、部门的贡献。而对于第一大类又可以继续细分为:1、对公司长期发展影响大的贡献 2、对公司短期发展大的贡献。对于第二大类,其他部门的贡献,又可以细分为,1、对本部门其他同事提供的帮助 2、对其他部门的同事提供的协助。很多时候,能不能将想法表达清楚,能不能将问题分析清楚,其实都需要扎实的“分类讨论”功底。
数学中的数形结合思想,也是应用较广泛的思想。在经济学的研究中,经常提到的流动性陷阱、IS-LM模型、蒙代尔模型等都是在利用图形的动态变化来分析具体的经济问题,而这些图形背后都有一定的函数关系式作为支撑。数形结合的主要作用就是把抽象分析,形象化。在公司或者政府部门的会议中,经常用到的业绩增长曲线、市场占有率、GPD增长曲线、CPI变化曲线等,都是数形结合思想的体现,将抽象的数字变化,通话图形的对比形象地表达出来。
而对于个人的实际生活遇到的现实问题,也可以应用数形结合思想。比如在制定个人的年度规划时,可以按照月份做成12个柱状图,从低到高,每个柱状图上标出每个月的任务,这样可以让自己对于一年的年度规划有个直观、整体的把握。又比如,时间管理上,经典的四象限管理法,横轴是重要性程度,纵轴是紧急程度,将所有的事项全部分为四大类,分类解决。这也是数形结合的经典应用。
还有哪些是数学思维的应用?公司管理上,经常用到的任务指标分解,比如为了完成一年1200万的业绩,如果按平均分配可以分解为每月120万,每周40万,每周按5天工作,则每天8万,然后按每天8万的业绩对部门的各个员工进行指标分配。逆行分解法,其实也算是数学思维的一种。在高一数学的不等式章节中,有一个方法叫分析法,其实就是“执果索因”,根据最终的证明目标不断地逆向分解为若干个已知的条件,最终通过逻辑推理,发现要想证明出最终的结果,只需要条件A就可以了,而条件A题目已经给出了,证明完毕。
还有,苹果手机的定价多少才能利润最大化?这可以根据以往的销售数据,对销量与价格的关系,进行统计回归分析,得出一个销量与价格的函数关系式,进而结合成本得出利润与价格的函数关系式,有了函数关系式就可以研究函数的最大值问题,推导出最大利润对应的价格,也就是最优价格。这其实就是数学中的函数与方程思想。
如果进一步探究,数学思维的核心其实就是逻辑思维的应用。所有的数学定理、公式,基本都是逻辑思维推导的结果,大部分数学考试重点也是利用逻辑思维用已学过的定理解决试卷中的问题。数学成绩的好坏,说到底并非看教材上的定理、公式谁背的更熟悉,根本还是比较谁的逻辑思维更加缜密、熟练。站在逻辑思维的层面,我们日常的工作、学习、生活、职业规划,基本都要用到逻辑思维,如此说来,数学思维的应用真的是无处不在矣。
学好数学其实就是学会更好地生活。
4. 数学和物理难吗?
孩子也马上升初二,这个暑假预习了2/3数学和物理新课,通过对他学习情况的观察,我的观点是:数学难度增加,物理很简单。
首先说一下我孩子的情况:不属于天赋异禀的孩子,属于勤能补拙的孩子。学习成绩尚可,在班里一般能保持前5名。
首先说一下我对初二(上)数学的观察:增加了大量平面几何的东西。人教版8年级(上)数学一共有5章,前3章都属于几何图形和证明题。由于几何和代数还是有区别的,涉及到两种思维,所以以往孩子学代数的数学优势不会自动延续到几何学习环节。身边有一个鲜明的例子,孩子小学奥数150分总分可以考到149分,但是刚学习几何的时候那是相当吃力。
数学几何层面,需要辅助线思维,孩子学这块的难点主要就是:解题的时候缺乏辅助线思维,不懂画辅助线,辅助线也不知道如何画?针对这个问题,我让孩子的应对方式是“熟能生巧”:通过大量练习辅助线题型来慢慢训练他的辅助线思维。练习过程中觉得比较好的参考书如下:
以上2本偏中等难度,第1本基础题型较多,难题占20%比例。第2本难题占比又有上升。除了以上2本,还有2本参考书我觉得也不错,总体题型偏难,如下所示:
物理我觉得孩子学习起来是很轻松的。孩子学习物理的主要方法和路径是:先听网课,有两种途径,一种是付费网课,比如某学习APP,有大量的物理实验视频,趣味性强,孩子很容易听进去,价钱也不是太贵,298元。还有一种途径是网上的免费资源,比如我们发现的一个特别好的系列课视频资源是“名师学堂”。
孩子听完网课后,就进入练习环节。孩子做过的比较好的基本物理参考书如下所示:
物理53是第一步,然后参考书由易到难如上所列。这样做完后,孩子基本就可以扫清所有知识盲点。
运用以上学习方法,孩子的物理学起来就比较轻松,虽然还没正式开课,但孩子通过预习已经很有自信去面对这门新课了。
所以,数学物理难不难,也难也不难,掌握对学习方法,可能就会觉得so easy。
以上,供参考。
5. 数学总计算错误怎么办?
在初中数学的学习中运算占据着相当大的比重,在中考中一般也会直接考查到运算,在试题的难度上,与别的题目相比,难度还是相对来说比较低的,所以有关运算的题目也是中考数学中必须要想办法去攻克的题目。
运算的学习其实是比较简单的,不像几何那样变化多端,在运算的学习中需要抓住两点:首先要去掌握基本的运算方法和要点,尤其是一些运算细节。很多同学在运算中出错较多就是因为对运算的细节掌握不到位,因此在运算的学习中必须要在细节和容易出错的地方下功夫,对于出错的题目要及时改错并做好标记,时刻提醒自己。
其次,运算能力的提升必须靠在掌握基本运算方法和要点的基础之上进行强化练习,通过练习一方面来提升运算的熟练度,进而提升运算的速度和技巧,另一方面,在运算的过程中不断去发现问题并解决问题,直到能快速准确解答。
初中数学运算要点分析:在中考数学试卷中一般会直接考查到实数的运算、整式的运算、分式的运算、方程的运算和不等式的运算这五大类运算,运算能力比较弱的同学就必须要想办法在这些运算的学习上下功夫,以求取得突破和提升。
实数的运算是初中数学运算的基础,涉及到基础的加法、减法、乘法、除法和乘方的运算,在实数的运算中比较容易出现符号问题,因此在实数的运算中一般需要遵循先定符号,再定数值的原则。在中考中一般会直接考查到实数的混合运算,将根式运算、绝对值运算、幂的运算等多种运算结合起来。
整式的运算是分式以及方程和不等式运算的基础,在整式的运算中需要掌握整式的加减运算、幂的运算以及整式的乘除运算。整式加减运算的本质是合并同类项,准确是别同类项和掌握合并同类项的法则是解题的关键,比较容易出现系数问题。幂的运算需要掌握几个公式,注意公式的区别和练习,不要用混了;整式的乘除运算是建立在幂的运算和整式加减运算的基础之上,掌握运算法则即可。
在整式的运算中还学习了平方差公式和完全平方公式,这是初中数学代数部分最重要的两个公式,在学习的时候需要注意公式的适用条件和特征,尤其是公式的变形应用。
在整式的运算中因式分解是非常重要的一个知识点,因式分解与整式乘法互为逆运算,数量掌握因式分解的方法是学习分式运算的前提。
分式主要学习分式的化简和解分式方程,分式的运算在中考中必考,难度比整式的运算要大一些,需要掌握分式化简的基本方法和要点,掌握解分式方程的基本方法和思路,在解完方程之后别忘记验跟。
方程是初中数学最重要的内容之一,在初中学习了一元一次方程,二元一次方程组,分式方程和一元二次方程,其中一元一次方程是所有方程学习的基础,其余几类方程在解答时都需要通过消元、化整、降次转化为一元一次方程来解答。在中考中,直接考查方程的解法的题目不多,但很多几何题目的解答都需要运用到方程思路、函数题目的解答过程中需要运用到方程,因此方程的解法必须要熟练掌握。
在初中数学所有的方程中,一元二次方程涉及的知识点和考点最多,除了方程的解法之外,还涉及到根的判别式及根与系数的关系,这在中考中会考查到,还会与函数结合考查。
初中数学的不等式主要学习的是一元一次不等式的解法和一元一次不等式组的解集,不等式的解法与一元一次方程的解法在前面的步骤都是相类似的,在最后一步化系数为1的时候需要注意符号问题。
运算的学习比较重基础,不同的运算之间也存在着错综复杂的关系,在所有的运算中以有理数的运算、整式的运算和一元一次方程的运算为基础,大部分初中同学的运算差都是因为这三大基础运算不过关所导致。想要在运算上有所突破和提升就必须要首先从中这三方面的运算去入手。
在初中数学的运算中最容易出现错误的是负号和系数问题,因此在学习的过程中,必须要掌握每种运算的符号确定法则;在去括号的运算中,很多同学忽视了括号外面这项的符号和系数导致出错,去括号问题始终是一个比较容易出错的地方;在分式的运算中,很多同学对分式的通分和约分的法则不熟悉导致出错;在解分式方程的时候因为没有验根导致过程不完整而出错;在解不等式的时候在化系数为1的时候,因为没有考虑到符号而导致出错。这些问题都必须要重视起来。
虽然运算的题目众多,但每种运算的解题方法和要点就是那么几点,容易出错的地方也就那么几处,因此在学习的过程中只要抓住的重点和易错点,在学习和练习的过程中多去注意,不断去总结和思考,每个类型的运算认认真真完成二三十道练习题就基本没什么问题了。
分享一些习题:6. 高一的数学和初中数学有关联吗?
邓老师来自湖北荆州松滋市,从事高中数学教育工作已经10年了。邓老师深有体会,高一数学和初中数学肯定有关联啊!有一些联系!
1.初中学了一次函数和二次函数,高一数学初等函数部分依然学这两种函数,并且二次函数学的更加深入!
高中数学经常考二次函数,只是不再默认定义域是全体实数,而是有严格的限定,往往是一个闭区间或者开区间。
高中数学考察二次函数主要考察对称轴和区间的位置关系,求函数的最值。有时对称轴定,区间变动;有时对称轴变动,区间固定。邓老师编写的高中数学资料上,有很多这种类型的题目,已经考了10多年了!
2.高中有一类不等式,一元二次不等式,解不等式要结合初中学的判别式。
3.初中学了直线,一次函数,高中也学直线,只是学的更加深入,拓展了很多内容,各种直线表示方法,比如,斜截式,截距式,两点式,一般式等。还有一些特殊情况,比如斜率为零和斜率不存在的情况。
4.初中学统计,学方差和标准差,高中继续学这些内容,并且学的更加深入,难度加大。高中还学期望值和分布列,正态分布等
5.初中学了勾股定理,高中学的更加深入,学了余弦定理。我们发现,余弦定理是普遍性,勾股定理是特殊性。勾股定理是余弦定理的真子集!
6.初中学解直角三角形和锐角三角形,高中学解钝角三角形和各种三角形。
7.初中学了一元二次方程和韦达定理!高中继续学!特别是高二的选修部分,经常用到韦达定理。比如,把直线方程带入曲线方程,产生一元二次方程,就可以根据韦达定理,求出两根之和,两根之积,然后用这个内容求弦长!
8.导数题里面讨论单调性,会用到判别式和韦达定理。
所以说初中数学很基础,高中数学比较难,但高中数学与初中数学有一些联系。
9.邓老师编写了35本高中数学学习资料,覆盖了高中数学的全部内容,高中数学的解题技巧和方法套路在里面都有体现。最近几年高考,用过我数学资料的高中生,大部分数学考了120分以上,总分550左右。
荆州中学的一个理科生陈同学,从高二开始在我这里补课,一直补到高考,在不到2年的时间里,做完了我编写的30多本资料,数学取得了很大的进步,从刚开始的35分提高到90分,然后逐渐突破110.120,每次考试,分数都在不断上升,从未下调过。这是很罕见的,因为他学扎实了,他就能一直考高分,无论卷子难不难。他得到提高的不仅仅是考试分数,还有学习高中数学的浓厚兴趣!到后期,他还能问我一些深奥很有价值的数学问题,我感到很欣慰。
还有江陵中学的郭同学,高中数学从90多分提高到了142分只用了不到半年时间,最近几次数学考试,分数一直在130以上!他在我这里补课不到半年时间,已经把我编写的资料做了一半。果然数学有了很大的进步。他跟我说,听我的课可以学到很多有用的知识,他有信心提高数学成绩,学好高中数学!
7. 有哪些让人拍案叫绝的证明过程?
说一个小时候,寒木死活想不明白,仅靠记忆做题……
长大了,看到证明后,才心服口服的东东。
证明过程超级简单,小学三年级的人都能看懂。
除数不能等于零!
这是小学老师告诉我们的,但那时,他们很少告诉我们,这是为什么。
他们大多只会一边敲着黑板一边大喊:除数等于零,没有意义!没有意义!
这个“没有意义”实在是太难以理解了,折磨了寒木很长时间。
现在,我们用反证法来证明一下:
假设,0可以作为除数,则:
0×1=0
0×2=0
所以:
0×1=0×2
因为0可以作为除数,所以……
两边再除以0,得:
化简一下:
得:
1=2
矛盾,所以,0不能作为除数。
小学六年级的时候,如果老师能给我们这么证明一下,我们就不会去深入思考,那个“没有意义”到底是个什么意义了。
最后,来一个趣味题。话说,有4个算命先生,分别是A、B、C、D先生。其中:
A先生:准确率10%,收费5元;
B先生:准确率45%,收费10元;
C先生:准确率60%,收费15元;
D先生:准确率80%,收费20元;
那么,你该选择哪个呢?既要追求准确率,还要追求性价比,能同时做到吗?
答案太容易了。
这样去思考,A先生的准确率只有10%,那就说明,他的错误率就是:
1-10%=100%-10%=90%
因此,你每次去找他算命,如果他说:
小伙子,你今年没有桃花运,要2020年才有哦。
则:
你今年拥有桃花运的概率是90%。
但你只需要花5块钱。
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1. 实数练习题,大于28小于35的数有7个对吗?
错误的,35-28这道题,是指35比28大多少或者多多少,所得结果如果用列举法,就是多了29.30.31.32.33.34.35这7个数。而我们这道题问得是之间有几个数字,所以还得去掉35,所以这道题解题方法是35-28-1=6
2. 整个初中数学的重难点有哪些?
初中数学重难考点,希望帮助到你。如果你现在正在读初中可以关注我。《初中数学完整课程》是我录制的188节讲授初中数学重点、难点、考点的系统课程,内涵全部初中数学基础及拔高内容,可以了解一下!以下从三个维度总结初中数学重点:一、基本运算方法
1、配方法
所谓配方,就是把一个解析式利用恒等变形的方法,把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中,用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法,它的应用十分非常广泛,在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。
2、因式分解法
因式分解,就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础,它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多,除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外,还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。
3、换元法
换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元,所谓换元法,就是在一个比较复杂的数学式子中,用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子,使它简化,使问题易于解决。
4、判别式法与韦达定理
一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c属于R,a≠0)根的判别,△=b2-4ac,不仅用来判定根的性质,而且作为一种解题方法,在代数式变形,解方程(组),解不等式,研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。
韦达定理除了已知一元二次方程的一个根,求另一根;已知两个数的和与积,求这两个数等简单应用外,还可以求根的对称函数,计论二次方程根的符号,解对称方程组,以及解一些有关二次曲线的问题等
5、待定系数法
在解数学问题时,若先判断所求的结果具有某种确定的形式,其中含有某些待定的系数,而后根据题设条件列出关于待定系数的等式,最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系,从而解答数学问题,这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。
6、构造法
在解题时,我们常常会采用这样的方法,通过对条件和结论的分析,构造辅助元素,它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等,架起一座连接条件和结论的桥梁,从而使问题得以解决,这种解题的数学方法,我们称为构造法。运用构造法解题,可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透,有利于问题的解决。
7、反证法
反证法是一种间接证法,它是先提出一个与命题的结论相反的假设,然后,从这个假设出发,经过正确的推理,导致矛盾,从而否定相反的假设,达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤,大体上分为:(1)反设;(2)归谬;(3)结论。
反设是反证法的基础,为了正确地作出反设,掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的,例如:是、不是;存在、不存在;平行于、不平行于;垂直于、不垂直于;等于、不等于;大(小)于、不大(小)于;都是、不都是;至少有一个、一个也没有;至少有n个、至多有(n一1)个;至多有一个、至少有两个;唯一、至少有两个。
归谬是反证法的关键,导出矛盾的过程没有固定的模式,但必须从反设出发,否则推导将成为无源之水,无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型:与已知条件矛盾;与已知的公理、定义、定理、公式矛盾;与反设矛盾;自相矛盾。
8、面积法
平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理,不仅可用于计算面积,而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法,称为面积方法,它是几何中的一种常用方法。
用归纳法或分析法证明平面几何题,其困难在添置辅助线。面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来,通过运算达到求证的结果。所以用面积法来解几何题,几何元素之间关系变成数量之间的关系,只需要计算,有时可以不添置补助线,即使需要添置辅助线,也很容易考虑到。
9、几何变换法
在数学问题的研究中,常常运用变换法,把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射。中学数学中所涉及的变换主要是初等变换。有一些看来很难甚至于无法下手的习题,可以借助几何变换法,化繁为简,化难为易。另一方面,也可将变换的观点渗透到中学数学教学中。将图形从相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起来,有利于对图形本质的认识。
几何变换包括:(1)平移;(2)旋转;(3)对称。
10、客观性题的解题方法
选择题是给出条件和结论,要求根据一定的关系找出正确答案的一类题型。选择题的题型构思精巧,形式灵活,可以比较全面地考察学生的基础知识和基本技能,从而增大了试卷的容量和知识覆盖面。
填空题是标准化考试的重要题型之一,它同选择题一样具有考查目标明确,知识复盖面广,评卷准确迅速,有利于考查学生的分析判断能力和计算能力等优点,不同的是填空题未给出答案,可以防止学生猜估答案的情况。
要想迅速、正确地解选择题、填空题,除了具有准确的计算、严密的推理外,还要有解选择题、填空题的方法与技巧。下面通过实例介绍常用方法。
(1)直接推演法:直接从命题给出的条件出发,运用概念、公式、定理等进行推理或运算,得出结论,选择正确答案,这就是传统的解题方法,这种解法叫直接推演法。
(2)验证法:由题设找出合适的验证条件,再通过验证,找出正确答案,亦可将供选择的答案代入条件中去验证,找出正确答案,此法称为验证法(也称代入法)。当遇到定量命题时,常用此法。
(3)特殊元素法:用合适的特殊元素(如数或图形)代入题设条件或结论中去,从而获得解答。这种方法叫特殊元素法。
(4)排除、筛选法:对于正确答案有且只有一个的选择题,根据数学知识或推理、演算,把不正确的结论排除,余下的结论再经筛选,从而作出正确的结论的解法叫排除、筛选法。
(5)图解法:借助于符合题设条件的图形或图象的性质、特点来判断,作出正确的选择称为图解法。图解法是解选择题常用方法之一。
(6)分析法:直接通过对选择题的条件和结论,作详尽的分析、归纳和判断,从而选出正确的结果,为分析法。
二、基本定理1、过两点有且只有一条直线
2、两点之间线段最短
3、同角或等角的补角相等
4、同角或等角的余角相等
5、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短
7、平行公理 经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行
8、如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行
9、同位角相等,两直线平行
10、内错角相等,两直线平行
11、同旁内角互补,两直线平行
12、两直线平行,同位角相等
13、两直线平行,内错角相等
14、两直线平行,同旁内角互补
15、定理 三角形两边的和大于第三边
16、推论 三角形两边的差小于第三边
17、三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°
18、推论1 直角三角形的两个锐角互余
19、推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
20、推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
21、全等三角形的对应边、对应角相等
22、边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
23、角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的 两个三角形全等
24、推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
25、边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等
26、斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
27、定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
28、定理2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上
29、角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
30、等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角)
31、推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
32、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合
33、推论3 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°
34、等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)
35、推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形
36、推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
37、在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半
38、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半
39、定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
40、逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上
41、线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合
42、定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形
43、定理 2 如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线
44、定理3 两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上
45、逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称
46、勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方,即a2+b2=c2
47、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形
48、定理 四边形的内角和等于360°
49、四边形的外角和等于360°
50、多边形内角和定理 n边形的内角的和等于(n-2)×180°
51、推论 任意多边的外角和等于360°
52、平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等
53、平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等
54、推论 夹在两条平行线间的平行线段相等
55、平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分
56、平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
57、平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边 形是平行四边形
58、平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形
59、平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形
60、矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角
61、矩形性质定理2 矩形的对角线相等
62、矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形
63、矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形
64、菱形性质定理1 菱形的四条边都相等
65、菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角
66、菱形面积=对角线乘积的一半,即S=(a×b)÷2
67、菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形
68、菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
69、正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角,四条边都相等
70、正方形性质定理2正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角
71、定理1 关于中心对称的两个图形是全等的
72、定理2 关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分
73、逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形关于这一点对称
74、等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等
75、等腰梯形的两条对角线相等
76、等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯 形是等腰梯形
77、对角线相等的梯形是等腰梯形
78、平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等
79、推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰
80、推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边
81、三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半
82、梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半 L=(a+b)÷2 S=L×h
83、(1)比例的基本性质:如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果 ad=bc ,那么a:b=c:d
84、(2)合比性质:如果a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d
85、(3)等比性质:如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),
那么(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b
86、平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例
87、推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例
88、定理 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边
89、平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线, 所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例
90、定理 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似
91、相似三角形判定定理1 两角对应相等,两三角形相似(ASA)
92、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似
93、判定定理2 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似(SAS)
94、判定定理3 三边对应成比例,两三角形相似(SSS)
95、定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似
96、性质定理1 相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比
97、性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比
98、性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方
99、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值
100、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值,任意锐角的余切值等于它的余角的正切值
101、圆是定点的距离等于定长的点的集合
102、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合
103、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合
104、同圆或等圆的半径相等
105、到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆
106、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是着条线段的垂直平分线
107、到已知角的两边距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线
108、到两条平行线距离相等的点的轨迹,是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线
109、定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。
110、垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧
111、推论1
①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧
②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧
③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧
112、推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等
113、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形
114、定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等
115、推论 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等
116、定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
117、推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等
118、推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径
119、推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形
120、定理 圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角
121、①直线L和⊙O相交 d﹤r
②直线L和⊙O相切 d=r
③直线L和⊙O相离 d﹥r
122、切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
123、切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径
124、推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
125、推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
126、切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
127、圆的外切四边形的两组对边的和相等
128、弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
129、推论 如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等
130、相交弦定理 圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等
131、推论 如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项
132、切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项
133、推论 从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条 割线与圆的交点的两条线段长的积相等
134、如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上
135、①两圆外离 d﹥R+r ②两圆外切 d=R+r③两圆相交 R-r﹤d﹤R+r(R﹥r)
④两圆内切 d=R-r(R﹥r) ⑤两圆内含 d﹤R-r(R﹥r)
136、定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦
137、定理 把圆分成n(n≥3):
⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形
⑵经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形
138、定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆
139、正n边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n
140、定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形
141、正n边形的面积Sn=pnrn/2 p表示正n边形的周长
142、正三角形面积√3a/4 a表示边长
143、如果在一个顶点周围有k个正n边形的角,由于这些角的和应为360°,因此k×(n-2)180°/n=360°化为(n-2)(k-2)=4
144、弧长计算公式:L=n兀R/180
145、扇形面积公式:S扇形=n兀R^2/360=LR/2
146、内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)
三、常用数学公式公式分类 公式表达式
乘法与因式分解 a2-b2=(a+b)(a-b)
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)
三角不等式 |a+b|≤|a|+|b|
|a-b|≤|a|+|b|
|a|≤b<=>-b≤a≤b
|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|
一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a
-b-√(b2-4ac)/2a
根与系数的关系 X1+X2=-b/a
X1*X2=c/a 注:韦达定理
判别式
b2-4ac=0 注:方程有两个相等的实根
b2-4ac>0 注:方程有两个不等的实根
b2-4ac<0 注:方程没有实根,有共轭复数根
某些数列前n项和
1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2
2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6
13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3
正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
注:其中 R 表示三角形的外接圆半径
余弦定理 b2=a2+c2-2accosB
注:角B是边a和边c的夹角
3. 什么是数学思维?
数学学科本身经过几千年的发展,已经形成比较系统、健全、科学地研究方法。常用的数学思想包括:分类讨论、方程与函数思想、化归思想、数形结合思想。
我们身边大部分人接触到的数学思想主要是在中学期间,通过代数、几何的学习而学习到的。但是数学思维除了在应试阶段的作用、在数学学科本身的研究上具有重要作用,同时对于日常的工作、数学外的其他领域也具有重要价值。而数学思维在实际工作生活中的应用,经常会被人们忽视。
在咨询领域有一本畅销书,金字塔原理,这本书经常在职场领域、思维提升领域、PPT制作等领域被大牛推荐,而其实书里面的核心思想就是数学思维中的“分类讨论”思想。这本书提到的MECE法则,全称 Mutually Exclusive Collectively Exhaustive,中文意思是“相互独立,完全穷尽”,这个法则本身其实就是数学思维里分类讨论思想的内在要求。分类讨论思想目前也是在中高考考纲中的重点要求内容,可以说在中考、高考中能把分类讨论的思想学好,金字塔原理的核心内容也就掌握了。但是需要大家在经过中高考阶段后,在具体的工作中,刻意地练习分类讨论的思想方法。比如写作中,结论先行,论证过程需要按分类讨论的要求将不同情况都论证清楚,就可以写成一篇好文章。
比如在年度总结中,为了论证自己的年度成就,可以分几点讨论:一、自身工作内容的贡献。二、对其他人、部门的贡献。而对于第一大类又可以继续细分为:1、对公司长期发展影响大的贡献 2、对公司短期发展大的贡献。对于第二大类,其他部门的贡献,又可以细分为,1、对本部门其他同事提供的帮助 2、对其他部门的同事提供的协助。很多时候,能不能将想法表达清楚,能不能将问题分析清楚,其实都需要扎实的“分类讨论”功底。
数学中的数形结合思想,也是应用较广泛的思想。在经济学的研究中,经常提到的流动性陷阱、IS-LM模型、蒙代尔模型等都是在利用图形的动态变化来分析具体的经济问题,而这些图形背后都有一定的函数关系式作为支撑。数形结合的主要作用就是把抽象分析,形象化。在公司或者政府部门的会议中,经常用到的业绩增长曲线、市场占有率、GPD增长曲线、CPI变化曲线等,都是数形结合思想的体现,将抽象的数字变化,通话图形的对比形象地表达出来。
而对于个人的实际生活遇到的现实问题,也可以应用数形结合思想。比如在制定个人的年度规划时,可以按照月份做成12个柱状图,从低到高,每个柱状图上标出每个月的任务,这样可以让自己对于一年的年度规划有个直观、整体的把握。又比如,时间管理上,经典的四象限管理法,横轴是重要性程度,纵轴是紧急程度,将所有的事项全部分为四大类,分类解决。这也是数形结合的经典应用。
还有哪些是数学思维的应用?公司管理上,经常用到的任务指标分解,比如为了完成一年1200万的业绩,如果按平均分配可以分解为每月120万,每周40万,每周按5天工作,则每天8万,然后按每天8万的业绩对部门的各个员工进行指标分配。逆行分解法,其实也算是数学思维的一种。在高一数学的不等式章节中,有一个方法叫分析法,其实就是“执果索因”,根据最终的证明目标不断地逆向分解为若干个已知的条件,最终通过逻辑推理,发现要想证明出最终的结果,只需要条件A就可以了,而条件A题目已经给出了,证明完毕。
还有,苹果手机的定价多少才能利润最大化?这可以根据以往的销售数据,对销量与价格的关系,进行统计回归分析,得出一个销量与价格的函数关系式,进而结合成本得出利润与价格的函数关系式,有了函数关系式就可以研究函数的最大值问题,推导出最大利润对应的价格,也就是最优价格。这其实就是数学中的函数与方程思想。
如果进一步探究,数学思维的核心其实就是逻辑思维的应用。所有的数学定理、公式,基本都是逻辑思维推导的结果,大部分数学考试重点也是利用逻辑思维用已学过的定理解决试卷中的问题。数学成绩的好坏,说到底并非看教材上的定理、公式谁背的更熟悉,根本还是比较谁的逻辑思维更加缜密、熟练。站在逻辑思维的层面,我们日常的工作、学习、生活、职业规划,基本都要用到逻辑思维,如此说来,数学思维的应用真的是无处不在矣。
学好数学其实就是学会更好地生活。
4. 数学和物理难吗?
孩子也马上升初二,这个暑假预习了2/3数学和物理新课,通过对他学习情况的观察,我的观点是:数学难度增加,物理很简单。
首先说一下我孩子的情况:不属于天赋异禀的孩子,属于勤能补拙的孩子。学习成绩尚可,在班里一般能保持前5名。
首先说一下我对初二(上)数学的观察:增加了大量平面几何的东西。人教版8年级(上)数学一共有5章,前3章都属于几何图形和证明题。由于几何和代数还是有区别的,涉及到两种思维,所以以往孩子学代数的数学优势不会自动延续到几何学习环节。身边有一个鲜明的例子,孩子小学奥数150分总分可以考到149分,但是刚学习几何的时候那是相当吃力。
数学几何层面,需要辅助线思维,孩子学这块的难点主要就是:解题的时候缺乏辅助线思维,不懂画辅助线,辅助线也不知道如何画?针对这个问题,我让孩子的应对方式是“熟能生巧”:通过大量练习辅助线题型来慢慢训练他的辅助线思维。练习过程中觉得比较好的参考书如下:
以上2本偏中等难度,第1本基础题型较多,难题占20%比例。第2本难题占比又有上升。除了以上2本,还有2本参考书我觉得也不错,总体题型偏难,如下所示:
物理我觉得孩子学习起来是很轻松的。孩子学习物理的主要方法和路径是:先听网课,有两种途径,一种是付费网课,比如某学习APP,有大量的物理实验视频,趣味性强,孩子很容易听进去,价钱也不是太贵,298元。还有一种途径是网上的免费资源,比如我们发现的一个特别好的系列课视频资源是“名师学堂”。
孩子听完网课后,就进入练习环节。孩子做过的比较好的基本物理参考书如下所示:
物理53是第一步,然后参考书由易到难如上所列。这样做完后,孩子基本就可以扫清所有知识盲点。
运用以上学习方法,孩子的物理学起来就比较轻松,虽然还没正式开课,但孩子通过预习已经很有自信去面对这门新课了。
所以,数学物理难不难,也难也不难,掌握对学习方法,可能就会觉得so easy。
以上,供参考。
5. 数学总计算错误怎么办?
在初中数学的学习中运算占据着相当大的比重,在中考中一般也会直接考查到运算,在试题的难度上,与别的题目相比,难度还是相对来说比较低的,所以有关运算的题目也是中考数学中必须要想办法去攻克的题目。
运算的学习其实是比较简单的,不像几何那样变化多端,在运算的学习中需要抓住两点:首先要去掌握基本的运算方法和要点,尤其是一些运算细节。很多同学在运算中出错较多就是因为对运算的细节掌握不到位,因此在运算的学习中必须要在细节和容易出错的地方下功夫,对于出错的题目要及时改错并做好标记,时刻提醒自己。
其次,运算能力的提升必须靠在掌握基本运算方法和要点的基础之上进行强化练习,通过练习一方面来提升运算的熟练度,进而提升运算的速度和技巧,另一方面,在运算的过程中不断去发现问题并解决问题,直到能快速准确解答。
初中数学运算要点分析:在中考数学试卷中一般会直接考查到实数的运算、整式的运算、分式的运算、方程的运算和不等式的运算这五大类运算,运算能力比较弱的同学就必须要想办法在这些运算的学习上下功夫,以求取得突破和提升。
实数的运算是初中数学运算的基础,涉及到基础的加法、减法、乘法、除法和乘方的运算,在实数的运算中比较容易出现符号问题,因此在实数的运算中一般需要遵循先定符号,再定数值的原则。在中考中一般会直接考查到实数的混合运算,将根式运算、绝对值运算、幂的运算等多种运算结合起来。
整式的运算是分式以及方程和不等式运算的基础,在整式的运算中需要掌握整式的加减运算、幂的运算以及整式的乘除运算。整式加减运算的本质是合并同类项,准确是别同类项和掌握合并同类项的法则是解题的关键,比较容易出现系数问题。幂的运算需要掌握几个公式,注意公式的区别和练习,不要用混了;整式的乘除运算是建立在幂的运算和整式加减运算的基础之上,掌握运算法则即可。
在整式的运算中还学习了平方差公式和完全平方公式,这是初中数学代数部分最重要的两个公式,在学习的时候需要注意公式的适用条件和特征,尤其是公式的变形应用。
在整式的运算中因式分解是非常重要的一个知识点,因式分解与整式乘法互为逆运算,数量掌握因式分解的方法是学习分式运算的前提。
分式主要学习分式的化简和解分式方程,分式的运算在中考中必考,难度比整式的运算要大一些,需要掌握分式化简的基本方法和要点,掌握解分式方程的基本方法和思路,在解完方程之后别忘记验跟。
方程是初中数学最重要的内容之一,在初中学习了一元一次方程,二元一次方程组,分式方程和一元二次方程,其中一元一次方程是所有方程学习的基础,其余几类方程在解答时都需要通过消元、化整、降次转化为一元一次方程来解答。在中考中,直接考查方程的解法的题目不多,但很多几何题目的解答都需要运用到方程思路、函数题目的解答过程中需要运用到方程,因此方程的解法必须要熟练掌握。
在初中数学所有的方程中,一元二次方程涉及的知识点和考点最多,除了方程的解法之外,还涉及到根的判别式及根与系数的关系,这在中考中会考查到,还会与函数结合考查。
初中数学的不等式主要学习的是一元一次不等式的解法和一元一次不等式组的解集,不等式的解法与一元一次方程的解法在前面的步骤都是相类似的,在最后一步化系数为1的时候需要注意符号问题。
运算的学习比较重基础,不同的运算之间也存在着错综复杂的关系,在所有的运算中以有理数的运算、整式的运算和一元一次方程的运算为基础,大部分初中同学的运算差都是因为这三大基础运算不过关所导致。想要在运算上有所突破和提升就必须要首先从中这三方面的运算去入手。
在初中数学的运算中最容易出现错误的是负号和系数问题,因此在学习的过程中,必须要掌握每种运算的符号确定法则;在去括号的运算中,很多同学忽视了括号外面这项的符号和系数导致出错,去括号问题始终是一个比较容易出错的地方;在分式的运算中,很多同学对分式的通分和约分的法则不熟悉导致出错;在解分式方程的时候因为没有验根导致过程不完整而出错;在解不等式的时候在化系数为1的时候,因为没有考虑到符号而导致出错。这些问题都必须要重视起来。
虽然运算的题目众多,但每种运算的解题方法和要点就是那么几点,容易出错的地方也就那么几处,因此在学习的过程中只要抓住的重点和易错点,在学习和练习的过程中多去注意,不断去总结和思考,每个类型的运算认认真真完成二三十道练习题就基本没什么问题了。
分享一些习题:6. 高一的数学和初中数学有关联吗?
邓老师来自湖北荆州松滋市,从事高中数学教育工作已经10年了。邓老师深有体会,高一数学和初中数学肯定有关联啊!有一些联系!
1.初中学了一次函数和二次函数,高一数学初等函数部分依然学这两种函数,并且二次函数学的更加深入!
高中数学经常考二次函数,只是不再默认定义域是全体实数,而是有严格的限定,往往是一个闭区间或者开区间。
高中数学考察二次函数主要考察对称轴和区间的位置关系,求函数的最值。有时对称轴定,区间变动;有时对称轴变动,区间固定。邓老师编写的高中数学资料上,有很多这种类型的题目,已经考了10多年了!
2.高中有一类不等式,一元二次不等式,解不等式要结合初中学的判别式。
3.初中学了直线,一次函数,高中也学直线,只是学的更加深入,拓展了很多内容,各种直线表示方法,比如,斜截式,截距式,两点式,一般式等。还有一些特殊情况,比如斜率为零和斜率不存在的情况。
4.初中学统计,学方差和标准差,高中继续学这些内容,并且学的更加深入,难度加大。高中还学期望值和分布列,正态分布等
5.初中学了勾股定理,高中学的更加深入,学了余弦定理。我们发现,余弦定理是普遍性,勾股定理是特殊性。勾股定理是余弦定理的真子集!
6.初中学解直角三角形和锐角三角形,高中学解钝角三角形和各种三角形。
7.初中学了一元二次方程和韦达定理!高中继续学!特别是高二的选修部分,经常用到韦达定理。比如,把直线方程带入曲线方程,产生一元二次方程,就可以根据韦达定理,求出两根之和,两根之积,然后用这个内容求弦长!
8.导数题里面讨论单调性,会用到判别式和韦达定理。
所以说初中数学很基础,高中数学比较难,但高中数学与初中数学有一些联系。
9.邓老师编写了35本高中数学学习资料,覆盖了高中数学的全部内容,高中数学的解题技巧和方法套路在里面都有体现。最近几年高考,用过我数学资料的高中生,大部分数学考了120分以上,总分550左右。
荆州中学的一个理科生陈同学,从高二开始在我这里补课,一直补到高考,在不到2年的时间里,做完了我编写的30多本资料,数学取得了很大的进步,从刚开始的35分提高到90分,然后逐渐突破110.120,每次考试,分数都在不断上升,从未下调过。这是很罕见的,因为他学扎实了,他就能一直考高分,无论卷子难不难。他得到提高的不仅仅是考试分数,还有学习高中数学的浓厚兴趣!到后期,他还能问我一些深奥很有价值的数学问题,我感到很欣慰。
还有江陵中学的郭同学,高中数学从90多分提高到了142分只用了不到半年时间,最近几次数学考试,分数一直在130以上!他在我这里补课不到半年时间,已经把我编写的资料做了一半。果然数学有了很大的进步。他跟我说,听我的课可以学到很多有用的知识,他有信心提高数学成绩,学好高中数学!
7. 有哪些让人拍案叫绝的证明过程?
说一个小时候,寒木死活想不明白,仅靠记忆做题……
长大了,看到证明后,才心服口服的东东。
证明过程超级简单,小学三年级的人都能看懂。
除数不能等于零!
这是小学老师告诉我们的,但那时,他们很少告诉我们,这是为什么。
他们大多只会一边敲着黑板一边大喊:除数等于零,没有意义!没有意义!
这个“没有意义”实在是太难以理解了,折磨了寒木很长时间。
现在,我们用反证法来证明一下:
假设,0可以作为除数,则:
0×1=0
0×2=0
所以:
0×1=0×2
因为0可以作为除数,所以……
两边再除以0,得:
化简一下:
得:
1=2
矛盾,所以,0不能作为除数。
小学六年级的时候,如果老师能给我们这么证明一下,我们就不会去深入思考,那个“没有意义”到底是个什么意义了。
最后,来一个趣味题。话说,有4个算命先生,分别是A、B、C、D先生。其中:
A先生:准确率10%,收费5元;
B先生:准确率45%,收费10元;
C先生:准确率60%,收费15元;
D先生:准确率80%,收费20元;
那么,你该选择哪个呢?既要追求准确率,还要追求性价比,能同时做到吗?
答案太容易了。
这样去思考,A先生的准确率只有10%,那就说明,他的错误率就是:
1-10%=100%-10%=90%
因此,你每次去找他算命,如果他说:
小伙子,你今年没有桃花运,要2020年才有哦。
则:
你今年拥有桃花运的概率是90%。
但你只需要花5块钱。
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